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《现代应用数学手册 计算与数值分析卷》
目录
数学符号表
1数值计算概论
1.1数值分析的对象与特点
1.1.1研究对象
1.1.2主要特点
1.1.3数值问题与数值方法
1.2误差与有效数字
1.2.1误差的来源与分类
1.2.2误差概念
1.2.3有效数字
1.3误差估计与误差分析
1.3.1算术运算的误差界
1.3.2函数求值的误差估计
1.3.3误差分析方法
1.4误差的定性分析与运算原则
1.4.1算法的数值稳定性
1.4.2病态问题与条件数
1.4.3数值运算的简单原则
1.5并行算法及其基本概念
1.5.1并行算法及其分类
1.5.2并行算法基本概念及设计原则
2插值法
2.1引言
2.1.1插值的意义
2.1.2插值问题的提法
2.2拉格朗日插值
2.2.1基函数
2.2.2拉格朗日插值多项式
2.2.3余项
2.3艾特肯法
2.3.1问题的提出
2.3.2艾特肯法的描述
2.3.3计算工作量
2.4均差与牛顿插值
2.4.1均差
2.4.2牛顿插值公式
2.4.3计算工作量
2.5差分与等距节点插值
2.5.1差分
2.5.2牛顿差分插值公式
2.5.3高斯公式
2.5.4斯特林公式
2.5.5贝塞尔公式
2.5.6等距节点插值公式的使用
2.6埃尔米特插值
2.6.1一般提法
2.6.2插值多项式的建立与余项
2.6.3重节点均差与均差形式的埃尔米特插值多项式
2.7插值多项式的收敛性与稳定性
2.7.1插值多项式的收敛性与病态性质
2.7.2插值函数的稳定性
2.8分段低次插值
2.8.1分段线性插值
2.8.2分段三次埃尔米特插值
2.9样条插值
2.9.1样条函数
2.9.2月样条
2.9.3三次样条插值问题的提法
2.9.4均匀分划的三次样条插值函数
2.9.5任意分划的三次样条插值函数
2.9.6三次样条插值的收敛性
2.10反插值
2.10.1插值与反插值
2.10.2利用函数的插值多项式反插
2.10.3构造反函数的插值多项式
2.11有理函数插值
2.11.1有理插值的存在准一性
2.11.2蒂埃勒倒差商算法
3函数逼近与曲线拟合
3.1函数空间的范数与最佳逼近问题
3.1.1函数逼近与函数空间的范数
3.1.2最佳逼近问题
3.2最佳一致逼近
3.2.1连续函数的一致逼近
3.2.2最佳一致逼近多项式
3.3最佳一致逼近多项式的数值方法
3.3.1最佳一致线性逼近
3.3.2列梅兹算法
3.4正交多项式
3.4.1内积与正交多项式
3.4.2勒让德多项式
3.4.3切比雪大多项式
3.4.4其他常用的正交多项式
3.5最佳平方逼近
3.6用正交函数族作最佳平方逼近
3.6.1最佳平方逼近与广义傅里叶级数
3.6.2.用勒让德多项式作平方逼近
3.6.3截断切比雪夫级数
3.7近似最佳一致逼近
3.7.1泰勒级数项数的节约
3.7.2切比雪夫多项式零点插值
3.8曲线拟合的最小二乘法
3.8.1基本原理
3.8.2线性最小二乘逼近
3.8.3用正交多项式作最小二乘拟合
3.8.4多元最小二乘拟合
3.9傅里叶逼近
3.9.1最佳平方逼近与三角插值
3.9.2快速傅里叶变换
3.10有理逼近与连分式
3.11最佳有理逼近
3.12帕德逼近
3.13梅利逼近
3.14函数的连分式展开
4数值积分与数值微分
4.1引言
4.2牛顿-科茨求积公式
4.2.1公式的一般形式
4.2.2梯形公式
4.2.3辛普森公式
4.2.4高阶牛顿-科茨公式
4.2.5开型牛顿-科茨公式
4.3复合求积公式
4.3.1复合梯形公式
4.3.2复合辛普森公式
4.3.3复合求积公式的收敛性
4.3.4区间逐次分半法
4.4里查森外推算法和龙贝格积分法
4.4.1里查森外推算法
4.4.2龙贝格积分法
4.5高斯求积公式
4.5.1高斯型求积公式
4.5.2高斯-勒让德求积公式
4.5.3高斯-切比雪夫求积公式
4.5.4高斯-拉盖尔求积公式
4.5.5高斯-埃尔米特求积公式
4.6预先给定节点的高斯求积公式
4.6.1高斯-拉道求积公式
4.6.2高斯-洛巴托求积公式
4.7切比雪夫求积法
4.8三次样条函数求积法
4.8.1一般情况的求积公式
4.8.2简单情况的求积公式
4.9自适应积分法
4.9.1自适应辛普森方法
4.9.2计算步骤
4.10奇异积分的计算
4.10.1积分变量替换
4.10.2极限过程
4.10.3奇异性的解析处理
4.10.4乘积积分
4.10.5削减奇异性方法
4.10.6康托洛维奇方法
4.10.7高斯求积
4.1l振荡函数的积分
4.11.1在两零点之间的积分
4.11.2菲隆方法
4.12无穷区间上的积分
4.12.1变量替换
4.12.2无穷区间的截断
4.12.3无穷区间上的高斯求积公式
4.12.4极限过程
4.13重积分的数值计算
4.13.1基本概念
4.13.2梯形公式及其复合公式
4.13.3辛普森求积公式及其复合公式
4.13.4高斯型求积公式
4.13.5一般积分区域
4.14数值微分的基本方法
4.14.1数值微分的概念
4.14.2用插值多项式求数值微分
4.14.3将微分问题化为积分问题
4.14.4用三次样条函数求数值微分
4.14.5二阶导数
4.15数值微分的外推算法
4.16附表
4.16.1高斯-勒让德求积公式的节点和系数
4.16.2高斯-拉盖尔求积公式的节点和系数
4.16.3高斯-埃尔米特求积公式的节点和系数
5方程求根
5.1方程求根与二分法
5.1.1方程求根与根的隔离
5.1.2二分法
5.2迭代法及其收敛性
5.2.1不动点迭代法
5.2.2不动点存在性与迭代法收敛性
5.3迭代法的加速收敛
5.3.1艾特肯加速方法
5.3.2斯蒂芬森迭代法
5.4牛顿法
5.4.1牛顿法及其收敛性
5.4.2简化牛顿法与牛顿下山法
5.5弦截法与抛物线法
5.5.1弦截法
5.5.2试位法与斯蒂芬森方法
5.5.3抛物线法
5.6多重迭代法
5.7重根计算
5.8代数方程求根与迭代法
5.8.1引言与多项式求值
5.8.2牛顿法与拉盖尔迭代法
5.9根模的界与实根隔离
5.9.1根模的上下界
5.9.2施图姆序列
5.10伯努利方法
5.11劈因子法
5.12复根的隔离
5.13复多项式的圆盘迭代法
5.14病态代数方程
6解线性方程组的直接方法
6.1引言
6.2矩阵分析
6.2.1向量范数
6.2.2矩阵范数
6.2.3初等矩阵
6.3高斯顺序消去法和矩阵的LU分解
6.4高斯主元素消去法
6.5高斯-若尔当消去法
6.5.1列主元高斯-若尔当消去法
6.5.2高斯-若尔当消去法求逆矩阵
6.6直接三角分解法
6.6.1杜利特尔分解法
6.6.2列主元三角分解法
6.6.3对称正定矩阵的楚列斯基分解法
6.7带状方程组的解法
6.7.1三对角方程组的托马斯法和循环约简法
6.7.2块三对角方程组的解法
6.7.3带状方程组的列主元消去法
6.7.4对称正定带状方程组的解法
6.8大型稀疏方程组的直接方法
6.8.1稀疏矩阵
6.8.2高斯消去法解大型稀疏方程组所要求的形式
6.8.3压缩存储形式
6.8.4对称正定稀疏方程组的解法
6.9误差分析
6.9.1矩阵的条件数和病态方程组
6.9.2方程组的敏感性
6.9.3病态方程组的解法
6.9.4舍人误差
7求解线性代数方程组的迭代法
7.1定常迭代法的基本概念
7.2雅可比迭代法、JOR法和RF法
7.3高斯-赛德尔迭代法
7.4逐次超松弛迭代法
7.4.1逐次超松弛迭代法
7.4.2性质AA和相容次序
7.4.3最优松弛因子
7.5对称逐次超松弛迭代法
7.6不完全LU分解
7.6.1M矩阵与正则分解
7.6.2不完全LU分解
7.7块迭代法和交替方向迭代法
7.7.1块雅可比法、块逐次超松弛迭代法和块高斯-赛德尔法
7.7.2块逐次超松弛迭代法的收敛性和最优松弛因子的选取
7.7.3交替方向隐式方法
7.8拟消去迭代法
7.9共轭梯度法
7.9.1变分原理
7.9.2最速下降法
7.9.3共轭梯度法
7.10预处理共轭梯度法
7.10.1预处理共轭梯度法
7.10.21CCG法
7.10.3迭代预处理
7.11阿诺尔德算法
7.1l.1伽辽金原理和克雷洛夫子空间
7.11.2阿诺尔德过程
7.11.3阿诺尔德算法
7.11.4对称兰乔斯算法
7.12广义极小残余算法
7.12.1阿诺尔德-GMRES算法
7.12.2豪斯霍尔德-GMRES算法
7.12.3极小化算法
7.12.4GMRES算法的收敛性和中断
7.12.5分裂预处理GMRES算法
8矩阵特征值问题
巳1基本性质
8.1.1特征值的性质
8.1'2特征值的界限
8.1.3极值定理
8.1.4扰动和敏感性
8.2矩阵的变换和矩阵的分解
8.2.1矩阵的变换和矩阵的舒尔分解
8.2.2豪斯霍尔德变换和吉文斯变换
8.2.3化矩阵为海森伯格形
8.2.4矩阵的QR分解
8.3幂法和反幂法
8.3.1幂法
8.3.2加速方法
8.3.3收缩方法
8.3.4反幂法和原点位移
8.4QR算法
8.4.1基本算法及收敛性
8.4.2海森伯格阵的QR算法
8.4.3原点位移的QR算法
8.4.4双步隐式QR算法
8.5对称QR算法
8.6雅可比方法
8.6.1经典雅可比方法
8.6.2行循环雅可比方法
8.7子空间迭代法
8.8阿诺尔德方法
8.9兰乔斯方法
8.10对称广义特征值问题
8.10.1楚列斯基-对称QR算法
8.10.2兰乔斯算法
9非线性方程组数值解与最优化方法
9.1引言
9.1.1非线性方程组求解问题
9.1.2无约束最优化与非线性最小二乘
9.1.3非线性映射的导数与中值定理
9.2迭代法与不动点定理
9.2.1迭代法基本概念
9.2.2压缩映射原理与不动点定理
9.3牛顿型方法
9.3.1牛顿法与牛顿型方法
9.3.2牛顿法的收敛性与误差估计
9.3.3离散牛顿法与修正牛顿法
9.3.4牛顿下山法
9.4布朗方法与布兰特方法
9.4.1布朗方法
9.4.2布兰特方法
9.5牛顿松弛型迭代法
9.5.1牛顿-SOR迭代法
9.5.2非线性松弛迭代法
9.6割线法
9.7拟牛顿法
9.7.1拟牛顿法的基本思想
9.7.2布罗依登方法
9.7.3秩2校正公式
9.8延拓法
9.8.1延拓法基本思想
9.8.2数值延拓法
9.8.3参数微分法
9.9单纯形算法
9.9.1三角剖分与算法基本思想
9.9.2同伦算法
9.10区间迭代法
9.11并行多分裂方法
9.11.1线性多分裂方法
9.11.2非线性多分裂方法
9.12无约束最优化方法
9.12.1基本概念
9.12.2下降算法与一维搜索
9.12.3最速下降法与牛顿下降法
9.12.4共轭梯度法
9、12.5变尺度法
9.13非线性最小二乘法
10常微分方程初值问题的数值方法
10.1引言
10.1.1常微分方程的初值问题
10.1.2数值离散方法
10.2显式单步法的一般概念
10.3欧拉方法
10.3.1欧拉方法
10.3.2隐式欧拉方法和梯形方法
10.3.3改进的欧拉方法
10.4龙格-库塔方法
10.4.1显式龙格-库塔方法的一般形式
10.4.2二阶显式龙格-库塔方法
10.4.3三阶显式龙格-库塔方法
10.4.4四阶显式龙格-库塔方法
10.4.5高阶显式龙格-库塔方法
10.4.6龙格-库塔-费尔贝格方法
10.4.7隐式龙格-库塔方法
10.4.8单步法的绝对稳定性
10.5线性多步法
10.5.1线性多步法的一般概念
10.5.2亚当斯方法
10.5.3尼斯特龙方法
10.5.4汉明方法
10.5.5线性多步法的收敛性
10.5.6线性多步法的稳定性
10.5.7线性多步法的绝对稳定性
10.6预测-校正方法
10.6.1预测-校正的一般方法
10.6.2亚当斯预测-校正方法
10.6.3汉明预测-校正方法
10.7外推方法
10.7.1外推的一般方法
10.7.2格拉格外推方法
10.8方程组和高阶方程的数值方法
10.8.1一阶微分方程组的数值方法
10.8.2高阶方程的数值方法
10.9刚性方程组的数值方法
10.9.1方程组的刚性现象
10.9.2刚性方程组的稳定性
10.9.3刚性方程组的数值方法
11常微分方程边值问题的数值方法
11.1引言
11.2打靶法
11.2.1线性边值问题的打靶法
11.2.2非线性边值问题的打靶法
11.3有限差分方法
11.3.1线性边值问题的差分方法
11.3.2非线性边值问题的差分方法
11.4变分方法
11.4.1变分问题
11.4.2变分问题的近似计算
11.5有限元方法
11.5.1线.隆元
11.5.2高次元
11.6样条函数方法
12偏微分方程数值解法
12.1椭圆型方程的有限差分方法
12.1.1典型问题
12.1.2网格和差分近似
12.1.3差分格式的构造方法
12.1.4常用的有限差分格式
12.1.5边界条件的处理
12.2双曲型方程的差分方法
12.2.1典型问题
12.2.2差分格式
12.2.3对流方程的差分格式
12.2.4二维对流方程的差分格式
12.2.5波动方程的差分格式
12.3抛物型方程的差分方法
12.3.1典型问题
12.3.2扩散方程的差分格式
12.3.3对流扩散方程的差分方法
12.3.4二维扩散方程的差分方法
12.4有限元方法
12.4.1椭圆型边值问题的变分原理
12.4.2三角形线性元
12.4.3三角形单元上的高次插值
12.4.4矩形单元
12.4.5等参数单元
13多重网格法
13.1多重网格法基本原理
13.1.1模型
13.1.2多重网格法思想
13.1.3双网格方法
13.1.4多重网格法原理--一维模型问题分析
13.2线性多重网格法
13.3完整的多重网格法
13.4二维多重网格诸元素
13.4.1差分格式
13.4.2光滑迭代
13.4.3网格粗化
13.4.4延拓或插值
13.4.5限制
13.5非线性多重网格法
13.5.1牛顿多重网格法
13.5.2非线性多重网格法
13.6计算机上的执行性能
13.6.1数据结构
13.6.2存储量
13.6.3计算量
14积分方程数值解法
14.1引言
14.2第二类弗雷德霍姆积分方程的数值求积方法
14.2.1方法的一般描述
14.2.2乘积积分法
14.2.3修正的数值求积方法
14.2.4重叠核方法
14.3近似退化核替代法
14.4基于解的展开方法
14.4.1最小二乘近似
14.4.2矩量法
14.5特征值问题
14.6第二类沃尔泰拉积分方程的数值积分法
14.6.1用多步法解第二类沃尔泰拉积分方程
14.6.2用龙格-库塔型方法解第二类沃尔泰拉积分方程
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