§3 积分的应用
一、求面积
[平面图形面积计算公式]
图 形 |
面 积 S |
曲边梯形 |
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图 形 |
面 积 S |
扇形 |
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S= 或 S=2 式中 G到旋转轴的距离. |
曲面 在 |
式中 |
柱面
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式中C为柱面的准线,ds为曲线C(A,B)上的弧的微 分 .
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二、求体积
图 形 |
体 积V |
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式中 |
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式中A为所旋转的平面图形的面积, |
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式中S(x)为垂直于x轴的截面面积 |
在曲面 |
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空间区域V由下列曲面围成:
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式中 |
三、n维空间中凸体体积公式
n维空间的点的坐标为().所谓n维空间中的凸体
,是指
中任意两点A和B的连线仍在
中,即设A=
B=
,若A,B∈
,则点
.其中
, i=1,2,…,n
下面列出几种凸体体积的计算公式.
[单纯形] 已知n维空间中的n+1个点,包含这n+1个点的最小凸体称为由
张成的单纯形,记作
,若设
的n个坐标为
()
i=1,2,…,n+1
则单纯形的体积
n=2时为三角形,n=3时为四面体.
[超立方体]
: |
|≤
,
i=1,2,…,n
V=
[广义八面体]
1°1:
≤r,
>0,
i=1,2,…,n
2°2:
≤r,
>0,
>0,i=1,2,…,n-1
[n维球体]
:
[凸体的线形变换] 设有线性变换
=
, i=1,2,…,n
J=det(dij)≠0
将凸体R映成,则
的体积为
这里为该线性变换的雅可比式.
四、求重心
[平面图形几何重心坐标的计算公式]
图 形 |
几何重心 |
平面曲线 |
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曲边梯形 |
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[物体总质量与重心坐标的计算公式]
物体形状及密度 |
总质量M与重心 |
薄板
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物体形状及密度 |
总质量M与重心 |
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式中ds 为弧的微分,以上积分为曲线积分。 |
五、求转动惯量
[薄板的转动惯量] 设Oxy平面内薄板Ω的密度为ρ=ρ(x,y),对于x轴,y轴,原点O的转动惯量分别为,则
[一般物体的转动惯量] 设物体V的密度ρ=ρ(x,y,z).若物体对于坐标平面的转动惯量分别为;物体对于某轴l的转动惯量为
;物体对于坐标轴的转动惯量分别
;物体对于原点的转动惯量为
,则
式中r为物体的动点到轴l的距离.
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六、求流体压力
设流体接触面的边缘曲线为y=f(x)(图6.9),流体密度为w,则单侧压力
七、求变力所做的功
1°若s为路程,f(s)为变力,则
2°若s为路程,运动路线为C,f(x,y)为变力,θ为变力f与路线C切线的夹角,则
3°若变力沿坐标轴的三个分力分别为P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z),C为空间运动路线,则